ランダム・ウォークからウィーナー過程
正直離散値って扱いにくいです。
時間\(t_0, t_1, t_2, t_3,\cdots,t_n\), その時の時系列 \(Z(t_i)\) としたとき、
以前切った大見得は綺麗サッパリ忘れて連続値とみなします。
ランダムウォークの間隔を無限に細かくしていったものと考えればいいのですよ。
さて、そうするとウィーナー過程またの名ブラウン運動って次のごとく定義できてしまいます。
時系列の変化量
\(Z(t_k)-Z(t_{k-1})\) ( \(k=1, 2, 3, \cdots, n\) )
は、 平均0、 分散 \((t_k)-(t_{k-1})\) の正規分布 \( N(0,t_k - t_{k-1} )\) にしたがう.
\((t_k)-(t_{k-1})\) ってのもすっきりしないんで
\(\Delta Z = Z_{t_k}-Z(t_{k-1})\) , \(\Delta t = t_{n} -t_{n-1}, (n = 1,2,3,\cdots\))
としてやると、 "\(\Delta Z \)は 平均\(0、分散 \Delta t \) の正規分布 \(N(0, \sqrt{\Delta t^2})\)にしたがう"
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