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確率微分方程式1

\[\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma^2\mathcal{S}^2 \frac{\partial^2 V}{\partial {S}^2}+\mathcal{r}\mathcal{S}\frac{\partial V}{\partial S}-\mathcal{r}V=0\tag{1}\]

左辺変数の説明

\[\mathcal{S}: 株価,但し配当を含まず\]

\[(V,t):     オプション価格\]

\[\boldsymbol{r}: リスクフリー=無リスク債権の利率\]

\[{\sigma}:  株価変動の対数正規分布を取ったときの標準偏差、volatility\]

左辺各項の説明

  • 第一項 \({\Theta}(シータ)値:時間価値の減耗を表す\)
  • 第二項 いわゆる対流項。
  • 第三項  権利行使時における無裁定条件
  • 第四項 価格V、年利\(\boldsymbol{r}\)

(1)式はThe Navier-Stokes の流体力学方程式と連続体の式から導きます。

連続体の式は圧縮性流体の場合、\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{u} = 0\tag{2}\end{equation}



次にThe Navier-Stokes の流体力学方程式

\[\frac{du}{dt}-\mathcal{f}_\mathcal{v}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial {}}{\partial x}(\mathcal{K}_H\frac{\partial u}{\partial x})+\frac{\partial {}}{\partial y}(\mathcal{K}_H\frac{\partial u}{\partial y})+\frac{\partial {}}{\partial z}(\mathcal{K}_v\frac{\partial u}{\partial z})\tag{3}\] \[\frac{dv}{dt}-\mathcal{f}_\mathcal{u}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{\partial {}}{\partial x}(\mathcal{K}_H\frac{\partial v}{\partial x})+\frac{\partial {}}{\partial y}(\mathcal{K}_H\frac{\partial v}{\partial y})+\frac{\partial {}}{\partial z}(\mathcal{K}_v\frac{\partial v}{\partial z})\tag{4}\]
\[\frac{\partial p}{\partial z}=-{\rho}g\tag{5}\]
<id11>
\({(x,y,z)}\)は領域内の東西、子午線(南北)と垂直方向を表す。\(\boldsymbol{u}\)は領域内での東西方向の速度ベクトル. \(\boldsymbol{v}\)は領域内での南北方向の速度ベクトル. \(\mathcal{p}\)は圧力.\({\rho}\)は密度.


でBlack–Scholes equation って The Navier-Stokes equation なのか?

特定の場面では両方程式は近似式となる。

上記(3)式より


\[\frac{\partial u}{\partial x}+u\frac{\partial u}{\partial t}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}-f_v=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial {}}{\partial x}\mathcal{K}_H\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial {}}{\partial y}\mathcal{K}_H\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial {}}{\partial z}\mathcal{K}_H\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial {}}{\partial z}\mathcal{K}_v\frac{\partial u}{\partial z}\]

と縷縷書き来たりて、考えて見れば時間軸tここではx軸方向の変化だけ考えればいいのですから、\(y,z\)は0ゼロとすればいいです。そして、粘度kはxとは独立の数です.ということで次の式を得ます. \[\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}-f_v=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+K\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\tag{6}\]

\[1.\ \frac{\partial V}{\partial t}\ \sim\ \frac{\partial u}{\partial t}\]

\[2.\ \ \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\ \sim\ K\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]

\[3.\ \ rS\frac{\partial V}{\partial S}\ \sim\ u\frac{\partial u}{\partial x}\]

\[4.\ \ -rV\ \sim\ -fv\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}\]

あれ!4がでてこないw

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