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余因子展開

\( n-1 \)次の正方行列が出来上がるだろう。その行列式を計算すれば、ある値が得られる。その値にさらに\( (-1)^{(i+j)} \)を掛けた値が、「行列\( \color{red}{A} \)\( \color{red}{(i,j)} \)余因子
よし、わかった。
で、
余因子展開ってどうなんだ。

 余因子は行列\( A \)の成分の数と同じだけ存在しているわけで、\( \tilde{a}_{ij} \)という記号で表そう。これを使えば、\( A \)の行列式\( |A| \)は次のように展開して表すことができる。
\[ \begin{align*} |A| \ &=\ a_{i1} \, \tilde{a}_{i1} \ +\ a_{i2} \, \tilde{a}_{i2} \ +\ \cdots \ +\ a_{in} \, \tilde{a}_{in} \\ &=\ \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \, \tilde{a}_{ij} \end{align*} \]
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