群の定義 その前に2項演算

二項演算

集合 G

の元を二つ入れたら G の元が一つ返ってくるような関数を G

上の二項演算と言います。

  

我々が普段使う足し算,引き算,かけ算,割り算など,

  

二つの数から一つの数を決める演算を一般化した概念です。

二項演算は二変数関数なので f(a,b)

などど書くべきかもしれませんが,ab,a×b,ab のように書くことが多いです(一般の二項演算を ×

で表すことが多いです,二項演算子を省略することも多いです)。

なお,二項演算は必ずしも可換(f(a,b)=f(b,a))とは限りません。

 

群の定義

  

群の定義 集合と演算のペアがいい感じの性質を満たしているときに群と呼ばれます。

  

集合 G とその集合上の二項演算 ⋅の組が以下の三つの条件を満たすときに,そのペア (G,⋅) を群と言う。

  

G1.任意の a,b,c∈G に対して(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

  

G2.ある e∈G が存在して,任意の a∈G に対して a⋅e=e⋅a=a を満たす。

  

G3.任意の a∈G に対して b⋅a=a⋅b=e を満たす b∈G が存在する。

  

G1を結合法則,G2の e を単位元と言います。また,G3の b を a の逆元と言い,a−1 と書きます。

  

また「 G は演算 ⋅ に関して群である」と言うこともあります。 余談:単位元が存在すれば一意,逆元が存在すれば一意であることがそれぞれ証明できるので,群の定義に「単位元の一意性」「逆元の一意性」は不要

  

 

以上 出典「高校数学の美しい物語」 http://mathtrain.jp/group

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