行列式は固有値の積

行列式は固有値の積

    

証明  

A の固有ベクトルと固有値とは、

行列式は固有値の積01

を満たす

行列式は固有値の積02

のベクトル u と、値 x である。
  (1) は、

行列式は固有値の積03

と表してもよい。
  (3) は、同次連立一次方程式であり、(2) を満たす解を持つこと(自明な解 (x=0) のみではないこと)と、 行列式が 0 であることが同値である (同次連立一次方程式が自明な解以外の解を持つ場合を参考のこと)。 従って、

行列式は固有値の積04

が成立する。
  An 次正方行列であるので、 行列式の定義から、 (4) の左辺は、xn 次多項式である。 一般に、n 次多項式は、 n 個の積による因数分解が可能であるので (代数学の基本定理因数定理を参考のこと)、 (4) の左辺を

行列式は固有値の積05

と表すことができる。
  これより (4) から、

行列式は固有値の積06

が成立するので、

行列式は固有値の積07

である。すなわち、λ1,λ2,λn は、 A の固有値である。
  (5) は、任意の x に対して成立するので、x=0 の場合も成立する。この場合、(5) は、

行列式は固有値の積08

と表される。
  (7) の左辺には、行列式の定義から、

行列式は固有値の積09

が成立し、右辺を整理すると、

行列式は固有値の積10

である。
  ゆえに、

行列式は固有値の積11

が成立する。
  ここで、λ1,λ2,,λnA の固有値であるので ((6) を参考)、 A の行列式が、A の固有値を全て掛けた積に等しいことが示された。

引用元 http://physmath.main.jp/src/determinant-eigenvalue-product.html

#行列式 #固有値 #代数学の基本定理 #因数定理 #固有ベクトル #######   

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