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私的な目も 飯だ 米研いで

複素数係数の任意のn 次多項式
{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\quad (a_{n},\dots ,a_{0}\in \mathbb {C} ,\;a_{n}\neq 0)}
は複素数の根を(重複度込みで考えれば)ちょうど n 個持つ
という事実を導くので、このことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともある。とくに、どのような複素係数多項式であっても、それを複素数係数の一次式の冪積に分解できる。すなわち、体論の言葉で言えば「複素数体は代数的閉体である wiki

代数学
代数学(だいすうがく、algebra)は数学の一分野で、「代数」 の名の通り数の代わりに文字を用いて方程式の解法を研究する学問 
wiki

代数幾何学(だいすうきかがく、: algebraic geometry)とは、多項式零点のなすような図形を代数的手法を用いて(代数多様体として)研究する数学の一分野である。大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。

ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなった。例えば、x, y変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深い。 wiki


多様体(たようたい、英: manifold, 独: Mannigfaltigkeit)とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間(位相空間)のことである。 多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。



とは、集合 R とその上の二つの二項演算、加法 +: R × RR および乗法 ∗: R × RR の組 (R,+,∗) で、「環の公理系」と呼ばれる以下の条件を満たすものを言う[3](環の公理系にはいくつか異なる流儀があるが、それについては後で触れる)。

加法群 
(R, +) はアーベル群である
  1. 加法に関して閉じている: 任意の a, bR に対して a + bR が成り立つ[注 2]
  2. 加法の結合性: 任意の a, b, cR に対して (a + b) + c = a + (b + c) が成り立つ。
  3. 加法単位元(零元)の存在:如何なる aR に対しても共通して 0 + a = a + 0 = a を満たす 0 ∈ R が存在する。
  4. 加法逆元(反元、マイナス元)の存在: 各 aR ごとに a + b = b + a = 0 を満たす bR が存在する。
  5. 加法の可換性: 任意の a, bR に対して a + b = b + a が成立する。
乗法半群 
(R,∗) はモノイド(あるいは半群)である
  1. 乗法に関して閉じている: 任意の a, bR に対して abR が成り立つ[注 2]
  2. 乗法の結合性:任意の a, b, cR に対して (ab)∗ c = a ∗(bc) が成立する。
  3. 乗法に関する単位元を持つ[注 1]
分配律
乗法は加法の上に分配的である
  1. 左分配律: 任意の a, b, cR に対して a ∗(b + c) = (ab) + (ac) が成り立つ。
  2. 右分配律: 任意の a, b, cR に対して (a + b)∗ c = (ac) + (bc) が成り立つ。

が成り立つものをいう。乗法演算の記号 ∗ は普通省略されて、ab は、ab と書かれる。

よく知られた整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q, 実数全体の成す集合 R あるいは複素数全体の成す集合は通常の加法と乗法に関してそれぞれ環を成す。また別な例として、同じサイズの正方行列全体の成す集合も行列の和と乗法に関して環を成す(この場合の環としての零元は零行列、単位元は単位行列で与えられる)。

定義

集合 S とその上の二項演算 • : S × S → S が与えられたとき、組 (S, • ) が以下の条件を満たすならば、これを半群という。

結合律
S の各元 a, b, c に対して、等式 (ab) • c = a • (bc) が満たされる。

手短に言えば、半群とは結合的マグマのことである。S を半群 (S, •) の台集合とよび、また誤解の虞が無いならば「半群 S」のように台集合と同じ記号で半群そのものを表す。

台集合が有限集合であるような半群を有限半群 (finite semigroup) または位数有限な半群、有限位数を持つ半群 (semigroup with finite order)、無限集合であるような半群を無限半群 (infinite semigroup) または位数無限な半群、無限位数を持つ半群 (semigroup with infinite order)という。



高校数学の美しい物語

集合 $G$ とその集合上の二項演算 $f$ の組がとある条件を満たすときに,そのペア $(G,f)$ を群と言う。

抽象代数学の最も基本的な概念の一つで,数学のいろいろなところに登場する「群」について。
まずは二項演算について説明し,群の定義,具体例へと進んでいきます。

何だか色々あって面倒くさい!表はないか
http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8

ある集合があって,その集合に関して,次の四つのことが言えるとき,この集合を群と呼びます.そして,この四つの条件を 群の公理 と呼びます.

  1. 集合( G )の要素の間に,一意的な演算(仮に \circ としておきます)が成り立ち,その 演算に関して,集合は閉じている
\alpha ,\beta \in G\  \Rightarrow \  \alpha \circ \beta \in G
  1. その演算に対して, 結合則が成り立つ
\alpha \circ (\beta \circ \gamma )=(\alpha \circ \beta )\circ \gamma
  1. 演算には 単位元が存在する
\exists e\  s.t.\  \  \  \alpha \circ e=e\circ \alpha =\alpha \  \  for \  \forall \alpha \in G
  1. 演算には 逆元が存在する
\exists \alpha^{-1}\  s.t.\ \ \  \alpha \circ \alpha^{-1} =\alpha^{-1} \circ \alpha =e \  \ for \  \forall \alpha \in G



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