固有値,固有ベクトルの重要性

高校数学の美しい物語


固有値,固有ベクトルの重要性

固有値,固有ベクトルは行列が登場するありとあらゆるところに顔を出す非常に重要な概念です。

  • 統計学における主成分分析
  • 量子力学におけるシュレーディンガー方程式
  • 二次曲面の分類(シルベスター標準形)
  • マルコフ連鎖
  • グラフ理論

そのため,大学の講義の期末試験,工学系の大学院入試,数学検定1級などでは固有値,固有ベクトルを求めさせる問題が頻出です。

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①2次の行列式、固有値を求める

②イメージが頭に浮かぶ 平面で固有ベクトルの向き、固有値の関係

で十分、3次のやつは本を読んで理解できればいい、と教授のお言葉


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行列式は固有値の積

行列式は固有値の積

    

証明  

A の固有ベクトルと固有値とは、

行列式は固有値の積01

を満たす

行列式は固有値の積02

のベクトル u と、値 x である。
  (1) は、

行列式は固有値の積03

と表してもよい。
  (3) は、同次連立一次方程式であり、(2) を満たす解を持つこと(自明な解 (x=0) のみではないこと)と、 行列式が 0 であることが同値である (同次連立一次方程式が自明な解以外の解を持つ場合を参考のこと)。 従って、

行列式は固有値の積04

が成立する。
  An 次正方行列であるので、 行列式の定義から、 (4) の左辺は、xn 次多項式である。 一般に、n 次多項式は、 n 個の積による因数分解が可能であるので (代数学の基本定理因数定理を参考のこと)、 (4) の左辺を

行列式は固有値の積05

と表すことができる。
  これより (4) から、

行列式は固有値の積06

が成立するので、

行列式は固有値の積07

である。すなわち、λ1,λ2,λn は、 A の固有値である。
  (5) は、任意の x に対して成立するので、x=0 の場合も成立する。この場合、(5) は、

行列式は固有値の積08

と表される。
  (7) の左辺には、行列式の定義から、

行列式は固有値の積09

が成立し、右辺を整理すると、

行列式は固有値の積10

である。
  ゆえに、

行列式は固有値の積11

が成立する。
  ここで、λ1,λ2,,λnA の固有値であるので ((6) を参考)、 A の行列式が、A の固有値を全て掛けた積に等しいことが示された。

引用元 http://physmath.main.jp/src/determinant-eigenvalue-product.html

#行列式 #固有値 #代数学の基本定理 #因数定理 #固有ベクトル #######   

稲田朋美氏とは旧知の仲

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 本日開かれた参院予算委員会で民進党・小川敏夫議員に「森友学園もしくは籠池氏の顧問弁護士、あるいは法律相談や事件を受任したことはないか」と質問されると、稲田防衛相は「私は籠池氏の法律相談に乗ったこともなければ、顧問弁護士だったということもない」ときっぱり否定。だが、小川議員が今回の籠池理事長のインタビューを取り上げ、「防衛相の名前が入った書類がネット上で公開されている」と追及すると、「夫と共同で事務所をしているので委任状が共同になっているかもしれないが、弁護士の仕事はそれぞれ属人的なもの」と言い、“私自身は関係ない!”と主張。 「籠池氏の裁判を担当したことはない」と繰り返した。

水道の検針員の方の忠告

水道の検針員の方の忠告

いま水道の検針の方がおいでになって水漏れありとのご指摘.

あってもごく微量、チョロチョロだと.

水道使用量が厳寒の1,2月に跳ね上がってる.凍結破裂による漏水が強く疑われる!

凍結、破裂、修繕となれば100万円は飛ぶ.一瞬目眩がしたw.

慌てて家中の水道点検!

あった! トイレのタンク微量ながら水漏れ出水止まらず.

早速タンクのそこに溜まったヘドロを掻き出すぞ.Drain the Swamp!  

それでもダメならゴムボール交換

冬の間に水道メーターの蓋も壊れちゃったこれも修繕だ

代数学の基本定理と自然現象

代数学の基本定理と自然現象

代数学の基本定理によっていかなる方程式も複素数を使って解けることが分かった.

物理は数式を使って自然現象を記述する.万人共通言語だから.

ならば複素数を使えば自然現象を記述できることになる.

勿論、複素数は人間の目には見えない.実数だけ.

でも、背後に複素数が隠れ、私達の目には幾段階化の作用素が働いた結果の実数部分だけが見える.

こう解すればフーリエ解析で突然複素形式が出てきて面食らうこともない、よね.  

1Fお漏らし未だ已まず

中国驻日大使:福岛核泄漏未能完全控制建议谨慎出行

中国駐日大使;1Fお漏らし未だ已まず.旅行の際には行き先を慎重に選んでね.

中国驻日本大使程永华在接受国际在线记者采访时表示,福岛核电站事故已过去六年,“但是水的(污染)问题我个人感觉还没有完全控制住,还值得关注。中国赴日游客可以从网上了解到这些信息,从而来安排自己的行程。”

中国駐日大使程永華氏ネット記者質問に答え、「1Fの原発事故から早6年が杉田ものの個人的な感触としてまだ完全にコントロールできているという感覚はない.個々の皆様にあってはご旅行行き先選定にあたっては慎重に考慮されんことを」 

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マサオさんでした

マサオさんでした そこまでインチキの洋梨

マレーシアでの金哲さん、マサオさんでした.

そこまでインチキする必要がないんだから指紋照合を以って身元同定です.

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