テンソルと流体力学

引用元は

http://jikosoft.com/cae/engineering/strmat02.html

テンソルわかりやすい解説です。

暗記しようとするから覚えられない。

頻繁に読み返してたら頭に入ります。

流体力学(非圧縮性ニュートン流体)のページもあります。

忘れてることばかりで汗を出しながらチラ見してます。


FEM構造解析において、解析対象の強度や剛性を評価する場合、その指標として応力や変位等で評価することが多いです。ここでは構造物の強度を評価する場合のもっとも一般的な評価指標である応力に関して説明します。

FEM構造解析では単に応力といっても、主応力ミーゼス応力成分応力などさまざまな見方をすることができるため、これらについてしっかり理解しておかないと材料強度を正しく評価することができません。

応力とは?

まず応力の最も基本的定義を下式(2-1)に示します。

応力の定義

 ・・・・(2-1)

σ:応力、F:荷重、A:荷重が作用している面の面積

言葉で言えば、単位面積あたりに作用する力となります。荷重が作用面に対して垂直方向であれば垂直応力、作用面に対して平行であればせん断応力と呼びます。せん断応力はτで表記することもあります。定義としては非常に簡単ですね。

材料力学の本には図2-1のように丸棒を単純に引っ張った場合の例が多く掲載されています。このような丸棒を単純に引っ張った場合、内部の応力は一様に分布するので、このようなマクロ的な見方をしても問題ありません。

図2-1.応力の定義

では複雑な形状をした部材に多方向から力が加わった場合にはどのように考えるのでしょうか。この場合、もっとミクロな見方が必要になります。

応力テンソル

応力テンソルの定義

図2-2に四角い立方体のブロックを記していますが、これは部材内部の非常に微小な領域をブロック状に切り取った状態と考えてください。

図2-2.応力テンソル

この各面に働く応力を同様に定義していきます。 すでに応力状態を書いていますが、丸棒の場合との違いはσxxやσxyなどのようにσの後にxxやxyなどの添え字が付いています。1番目の添え字は考えている面を表し、2番目の添え字は力の方向を表します。面は考えている座標軸に対して垂直になるような面で定義されます。

例えばσxyの場合は、x軸に垂直な面に対してy方向に力が働いている状態で発生する応力となります(この場合、せん断応力になります)。 図ではブロックの6面に対して3面しか記述していませんが、対称なので省略しています。

これを行列の形式で記述すると以下のようになります。

 ・・・(2-2)

このように書くと何かすごく複雑で難しい印象を受けますが、丸棒の場合となんら変わりません。ただ一度に考える面が増えただけです。これはテンソルとして定義され、全部で9成分あります。ここで、σxyとσyxなどのように1番目の添え字と2番目の添え字が入れ替わった成分同士は同じ値になります。したがって独立なのは6成分になります。

この理由を図2-3で説明します。このような応力状態でも部材は静止していなければならないわけですから、力が釣り合っている必要があります。面に垂直な成分は完全に同値で向きが反対になります。問題はせん断成分ですが、これはブロックを回転させる方向の力が働きます。σyxでブロックを右に回転させる力が働きますが、これを回転させないための条件は、反対の方向に同じだけ回そうとする力を与える必要があります。したがってσyx=σxyになるのです。他の面も同様に考えることができます。

図2-3.応力テンソル
(z軸上からz-方向に見たところ)

この6つの独立な成分を持った応力は応力テンソルと呼ばれます。それぞれの成分(σxx、σxy・・)は成分応力と呼ばれます。FEMの構造解析の結果では、これらの成分応力も参照することができます。 FEM構造解析ではいろいろな応力の参照方法がありますが、この応力テンソルがそのすべての元になっています。応力テンソルから主応力やミーゼス応力などすべての応力を計算することができます。

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kWのメモ

例えば、1キロワット(kW)の装置が1時間(3600秒)に消費するエネルギーは1キロワット時(kWh)となり、それは3.6メガジュール(MJ)に等しい。 1メガワット日(MWd)は86.4ギガジュール(GJ)となる。 これらの単位は電力関係で電力消費量(電力量)の単位として用いられる。ウィキ

エンジンを考えると熱力学を考える
そして馬力からニュートン表示になったことの体感を作る
で全てをワットで表してしまう便利さを思う
ほんとはジュールで表すのが筋でしょう

解析入門 (1)(2)

解析入門 (1)(2)

解析入門(1) (2) 杉浦 光夫 (著) って事典として使えるんです.

わからないところは遡って調べることができる.しかもキチッとブロックになって調べやすい.

安い中古本がなくなっています.皆さん新入学、新学期に合わせて買うんですね.

で2ヶ月も経てば中古本市場に出てくる.

待ちます.

群の定義 その前に2項演算

二項演算

集合 G

の元を二つ入れたら G の元が一つ返ってくるような関数を G

上の二項演算と言います。

  

我々が普段使う足し算,引き算,かけ算,割り算など,

  

二つの数から一つの数を決める演算を一般化した概念です。

二項演算は二変数関数なので f(a,b)

などど書くべきかもしれませんが,ab,a×b,ab のように書くことが多いです(一般の二項演算を ×

で表すことが多いです,二項演算子を省略することも多いです)。

なお,二項演算は必ずしも可換(f(a,b)=f(b,a))とは限りません。

 

群の定義

  

群の定義 集合と演算のペアがいい感じの性質を満たしているときに群と呼ばれます。

  

集合 G とその集合上の二項演算 ⋅の組が以下の三つの条件を満たすときに,そのペア (G,⋅) を群と言う。

  

G1.任意の a,b,c∈G に対して(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

  

G2.ある e∈G が存在して,任意の a∈G に対して a⋅e=e⋅a=a を満たす。

  

G3.任意の a∈G に対して b⋅a=a⋅b=e を満たす b∈G が存在する。

  

G1を結合法則,G2の e を単位元と言います。また,G3の b を a の逆元と言い,a−1 と書きます。

  

また「 G は演算 ⋅ に関して群である」と言うこともあります。 余談:単位元が存在すれば一意,逆元が存在すれば一意であることがそれぞれ証明できるので,群の定義に「単位元の一意性」「逆元の一意性」は不要

  

 

以上 出典「高校数学の美しい物語」 http://mathtrain.jp/group

群論の紹介

群論の紹介ビデオ 独学の不可能性

甲 群論の難しいと思うところ 思い切りが出来ない

思い切りの内容

1 何かを「作用」させた結果できるものが同じ集合に集合に属する(自己同型)ことになるもの、の「数学」的考察

2 数学ってからには加減乗除から始めるのが無難w

数学の専門書の評価って数学の専門家からみた評価だから初学者がいきなり食らいついてもわかるわけない.

以上をお含みの上ご覧ください

群 って英語でgroupです.仲間分けのことと思ってかかるのが吉


20分あたりから出てくる「位数」は集合の濃度、集合の要素の数と思ってよい.

有限群ってのは位数が有限である群です.

いずれガロワ理論を用いて5次以上の方程式は代数的に解を求められないって事を示します.

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